Schrödingergleichung

Büste Erwin Schrödingers in der Universität Wien mit der Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger (1887–1961) zuerst als Wellengleichung formuliert und ist die fundamentale Gleichung der hier als Wellenmechanik behandelten Quantenmechanik.

Grundlagen

Die Schrödingergleichung beschreibt in Form einer partiellen Differentialgleichung die zeitliche Entwicklung eines Quantenzustands in einem nichtrelativistischen quantenmechanischen System. Mit ihrer Hilfe gelang es, das Spektrum des atomaren Wasserstoffs exakt herzuleiten. Sie lautet in ihrer allgemeinsten Form:

$i\hbar {\dot {\psi }}={\hat {H}}\psi$

oder in der von Paul Dirac (1902-1984) eingeführten Bra-Ket-Notation:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\vert \psi (\mathbf {r} ,t)\rangle ={\hat {H}}\vert \psi (\mathbf {r} ,t)\rangle$

Darin bedeutet $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit, $\psi (\mathbf {r} ,t)$ die vom Ort $\mathbf {r}$ und der Zeit $t$ abhängige komplexe Wellenfunktion, $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und ${\hat {H}}$ den Hamiltonoperator (Energieoperator) des betrachteten Systems.

Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Eine Wellenfunktion als Lösung der Schrödingergleichung für ein freies Teilchen (V(r) = 0), das sich als Wellenpaket ohne Dispersion (d.h. ohne zu zerfließen) im leeren Raum bewegt.

Nach der 1926 von Max Born (1882-1970) vorgeschlagenen statistischen Deutung der Quantenmechanik entspricht das Betragsquadrat der Wellenfunktion $|\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)|^{2}$ der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens. Dazu muss die Wellenfunktion allerdings so normiert werden, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit = 1 ist:

$\int |\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\;\mathrm {d} r=1$

Die Wellenfunktion ist in diesem Sinn eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die eine Wahrscheinlichkeitswelle repräsentiert.

Energieeigenwerte

Drei Lösungen für die Wellenfunktion der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für einen harmonischen Oszillator:
Links: Der Realteil (blau) und der imaginäre Teil (rot) der komplexen Wellenfunktion.
Recht: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte $|\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)|^{2}$.
Die beiden oberen Reihen zeigen stationäre Zustände. Ihr Superpositionszustand $\psi _{N}\equiv (\psi _{0}+\psi _{1})/{\sqrt {2}}$ ist hingegen nicht stationär.

Die Energieeigenwerte sind Eigenwerte des Hamiltonoperators, die sich aus der Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung ergeben. Es handelt sich dabei also um stationäre Zustände, in Dirac-Notation einfach darstellbar in der Form:

$H|\psi \rangle =E|\psi \rangle$

Indem man den stationären Zustand in die Schrödingergleichung einsetzt, ergibt sich:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =E_{\psi }|\psi \rangle$

Der Lösungsansatz dieser Differentialgleichung für einen harmonischen Oszillator beschreibt $|\psi \rangle$ als stehende Welle, die mit einem komplexen Phasenfaktor schwingt, dessen Winkelfrequenz $\omega$ enstprechend der Quantenhypothese gleich ist der Energie $E$ dividiert durch die reduzierte Plancksche Konstante:

$E=\hbar \omega \Rightarrow \omega =E/\hbar$

Die Wellenfunktion $|\psi \rangle$ ist im stationären Zustand also keineswegs konstant, wohl aber der Energieeigenwert bzw. das Betragsquadrat der Wellenfunktion $|\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)|^{2}$:

$|\psi (t)\rangle =e^{-iE_{\psi }t/\hbar }|\psi (0)\rangle$

Beispiel

Für ein Teilchen der Masse $m$, das sich mit dem Impuls $\mathbf {p}$ in einem Potential $V(\mathbf {r} )$ bewegt, ergibt sich beispielsweise aus der Hamiltonfunktion

$H\left(\mathbf {r} ,\mathbf {p} \right)={\frac {\mathbf {p} \,^{2}}{2\,m}}+V(\mathbf {r} )=E_{kin}+E_{pot}=E$

in Operatorschreibweise der Hamiltonoperator wie folgt:

${\hat {H}}({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {p} }})={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2\,m}}+V({\hat {\mathbf {r} }})$

Siehe auch

• Schrödingergleichung - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Hamiltonfunktion - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Hamiltonoperator - Artikel in der deutschen Wikipedia