Maxwellscher Spannungstensor

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Der Maxwellsche Spannungstensor (benannt nach James Clerk Maxwell) ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, der in der klassischen Elektrodynamik verwendet wird, um die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Kräften und mechanischem Impuls darzustellen.

In einfachen Situationen, beispielsweise eine elektrische Punktladung, die sich in einem homogenen Magnetfeld frei bewegt, lassen sich die Kräfte auf die Ladung durch die Lorentzkraft berechnen. Für komplexere Probleme wird das Verfahren über die Lorentzkraft sehr lang. Es ist daher zweckmäßig, verschiedene Größen der Elektrodynamik im Maxwellschen Spannungstensor zu sammeln.

In der relativistischen Formulierung des Elektromagnetismus erscheint der Maxwell-Tensor als Teil des elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensors.

Definition

Im Vakuum ist der Maxwellsche Spannungstensor in SI-Einheiten definiert durch

,

wobei

In gaußschen cgs-Einheiten ergibt sich der Tensor zu

mit den Komponenten der magnetischen Feldstärke.

Für elektromagnetische Wellen in einem linearen Medium lässt sich der Maxwellsche Spannungstensor definieren als:[1]

Diese Definition ist für anisotrope Medien jedoch nicht mehr symmetrisch.[1]

Magnetostatik

Für rein magnetische Felder (z. B. näherungsweise in Motoren) fallen einige Terme weg, wodurch sich der Maxwell-Tensor vereinfacht zu:

Für zylinderförmige Objekte – z. B. die Rotoren eines Motors – ergibt sich

Dabei ist

  • die Scherung in radialer Richtung (vom Zylinder nach außen)
  • die Scherung in tangentialer Richtung (um den Zylinder herum). Der Motor wird hierbei durch die Tangentialkraft angetrieben.
  • die Flussdichte in radialer Richtung
  • die Flussdichte in tangentialer Richtung.

Elektrostatik

In der Elektrostatik, für die das Magnetfeld verschwindet (), ergibt sich der elektrostatische Maxwellsche Spannungstensor. In Komponentenschreibweise ergibt sich dieser durch:

und in symbolischer Schreibweise durch

wobei der Identitätstensor sei.

Literatur

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1  John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter, 2020 (Originaltitel: Classical Electrodynamics, übersetzt von Kurt Müller), ISBN 3112322010, S. 280.
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