Eulersche Formel

Veranschaulichung der Eulerschen Formel in der komplexen Zahlenebene

Die Eulersche Formel, die erstmals 1748 in Leonhard Eulers zweibändiger «Introductio in analysin infinitorum» veröffentlicht wurde, ermöglicht die Darstellung der trigonometrischen Funktionen $sin(x),cos(x)$ durch komplexe Exponentialfunktionen $e^{ix}$. Für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt:

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}=\cos \left(x\right)+\mathrm {i} \,\sin \left(x\right)$

Auf einfache Weise ergibt sich die Eulersche Formel aus der Taylorreihen-Entwicklung der Funktionen $\mathrm {e} ^{x}$, $\sin(x)$ und $\cos(x)$:

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}=1+\mathrm {i} x+{(\mathrm {i} x)^{2} \over 2!}+{(\mathrm {i} x)^{3} \over 3!}+{(\mathrm {i} x)^{4} \over 4!}+\dots$ $=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots \right)+\mathrm {i} \cdot \left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots \right)$ $=\cos(x)+\mathrm {i} \cdot \sin(x)$

Siehe auch

• Eulersche Formel - Artikel in der deutschen Wikipedia