Parabel (Mathematik)

Die Parabel ist einer der Kegelschnitte.

Die Normalparabel

Ein hüpfender Ball beschreibt – wenn man Reibungsverluste vernachlässigt – Parabelbögen.

Wasserstrahlen beschreiben ebenfalls Parabeln, wenn man die Reibung vernachlässigt.

In der Mathematik ist eine Parabel (von lat. parabola zu altgriechisch παραβολή parabolḗ ‚Nebeneinanderstellung, Vergleichung, Gleichnis, Gleichheit‘; zurückzuführen auf παρά pará ‚neben‘ und βάλλειν bállein ‚werfen‘) eine Kurve zweiter Ordnung. Neben dem Kreis, der Ellipse und der Hyperbel zählt sie zu den Kegelschnitten: Sie entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft und nicht durch die Kegelspitze geht. Eine Parabel kann daher als Ellipse angesehen werden, bei der einer der beiden Brennpunkte im Unendlichen liegt.

Die Parabel wurde von Menaichmos entdeckt und von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.) als parabolḗ benannt.

Beispiele

Die Normalparabel ist die spezielle Parabel mit der Gleichung $y=x^{2}$, also der Graph der Quadratfunktion $x\mapsto x^{2}$. Sie ist symmetrisch zur $y$-Achse und nach oben offen. Ihr Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung. Der Name ergibt sich aus der Normierung der Parameter in der allgemeinen Parabelgleichung $y=ax^{2}+bx+c$ auf die speziellen Werte $a=1$, $b=0$, $c=0$.

Parabeln treten in der Mathematik häufig als Graphen quadratischer Funktionen $x\mapsto f(x)=ax^{2}+bx+c$ auf.

Auch im täglichen Leben spielen Parabeln eine Rolle:

• Die Funktionsweise von Parabolantennen und Parabolspiegeln beruht auf der geometrischen Eigenschaft der Parabel, parallel zu ihrer Achse einfallende Strahlen im Brennpunkt zu sammeln (siehe weiter unten).
• Ein schräg nach oben geworfener Stein bewegt sich näherungsweise auf einer parabelförmigen Bahn, der Wurfparabel (s. hüpfender Ball, Springbrunnen). Dies hängt damit zusammen, dass Wurfbewegungen durch quadratische Funktionen beschrieben werden.
• In einem Flugzeug, das sich entlang einer Wurfparabel bewegt, herrscht Schwerelosigkeit. Solche Parabelflüge werden zum Training von Astronauten verwendet.
• In der Mathematik werden Parabeln häufig zur Approximation komplizierterer Funktionen verwendet, da sie nach den Geraden (Gleichung: $y=mx+b$) die einfachsten gekrümmten Funktionsgraphen (Gleichung: $y=ax^{2}+bx+c$) sind und sich besser als Geraden an gekrümmte Funktionsgraphen anschmiegen können. Im CAD-Bereich (Computer Aided Design) treten Parabeln als Bézierkurven auf. Ein Vorteil der Parabeln gegenüber Kreisen, Ellipsen und Hyperbeln besteht darin, dass man sie als Funktionsgraph von Polynomfunktionen 2. Grades beschreiben kann.

Siehe auch

• Parabel (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Ellipse (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Hyperbel (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Konfokale Kegelschnitte - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „Gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.

Weblinks

Commons: Parabeln – Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

 Wiktionary: Parabel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Parabeln. Auf: mathematische-basteleien.de.