imported>Joachim Stiller |
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| Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge | | Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge |
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| :<math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} < r \right\},</math>
| | <math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} < r \right\},</math> |
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| die abgeschlossene Kreisscheibe als | | die abgeschlossene Kreisscheibe als |
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| :<math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} \le r \right\}.</math>
| | <math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} \le r \right\}.</math> |
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| == Geschichte == | | == Zu etlichen weiteren Themen siehe auch == |
| [[Datei:Altes Holzrad.jpg|mini|In der Technik ermöglicht die kreisrunde Form des [[Rad]]es die [[rollen]]de Fortbewegung.]]
| | * {{WikipediaDE|Kategorie:Kreis}} |
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| === Zeit der Ägypter und Babylonier ===
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| [[Datei:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|mini|Fragment des Papyrus Rhind]]
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| [[Datei:Problème-R48-Papyrus-Rhind-texte.jpg|mini|Annäherung der Kreisfläche im Papyrus Rhind, die Figur oben wird als unregelmäßiges Achteck gedeutet, darunter die Rechenschritte am Beispiel d=9 ([[Chet (Altes Ägypten)|Chet]]).]]
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| Der Kreis gehört neben dem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] und der [[Gerade|geraden Linie]] zu den ältesten Elementen der vorgriechischen Geometrie.<ref>Scriba, Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie.'' 2005, S. 32–33.</ref> Schon vor viertausend Jahren beschäftigten sich die Ägypter mit ihm in ihren Studien zur Geometrie. Sie konnten den Flächeninhalt <math>A</math> eines Kreises näherungsweise bestimmen, indem sie vom Durchmesser d ein Neuntel seiner Länge abzogen und das Ergebnis mit sich selbst multiplizierten. Sie rechneten also
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| :<math>A \approx \left(\frac{8}{9} d \right)^2 = \frac{256}{81} r^2 = 3{,}16049\dotso\cdot r^2</math>
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| und bestimmten so näherungsweise (mit einer Abweichung von nur etwa +0,6 %) den Flächeninhalt einer Kreisfläche. Diese Näherung wurde in der altägyptischen Abhandlung [[Papyrus Rhind]] gefunden, sie lässt sich erhalten, wenn man den Kreis durch ein unregelmäßiges Achteck annähert.<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 13.</ref>
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| Die Babylonier (1900 bis 1600 vor Christus) benutzten eine ganz andere Methode, um den Flächeninhalt der Kreisscheibe zu berechnen. Im Gegensatz zu den Ägyptern gingen sie vom Kreisumfang <math>U</math> aus, den sie als dreimal den Kreisdurchmesser <math>d</math> schätzten. Der Flächeninhalt wurde dann auf ein Zwölftel des [[Quadrieren|Quadrates]] des Umfanges geschätzt, also<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 18.</ref>
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| :<math>A \approx \frac{1}{12} U^2 \approx \frac{9}{12} d^2 = 3 r^2,</math>
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| mit einer Abweichung von −4,5 % ein deutlich schlechteres Ergebnis.
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| Die Babylonier beschäftigten sich aber auch schon mit Kreissegmenten. Sie konnten die Länge der Sehne oder die Höhe des Kreissegments (die senkrecht auf der Sehnenmitte stehende Strecke zwischen Sehne und Umfang) berechnen. Damit begründeten sie die [[Sehne (Geometrie)|Sehnengeometrie]], die später von [[Hipparchos (Astronom)|Hipparch]] weiterentwickelt wurde und die [[Claudius Ptolemaios]] an den Anfang seines astronomischen Lehrbuches ''[[Almagest]]'' stellte.<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 19–20.</ref>
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| === Antike ===
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| [[Datei:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg|mini|Titelblatt von Henry Billingsleys englischer Übersetzung der ''Elemente'' (1570)]]
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| Die Griechen werden meist als die Begründer der Wissenschaft von der Natur angesehen. Als der erste bedeutende Philosoph dieser Zeit, der sich mit Mathematik beschäftigte, gilt [[Thales|Thales von Milet]] (624–546 v. Chr.). Er brachte Wissen über die Geometrie aus Ägypten mit nach Griechenland, wie zum Beispiel die Aussage, dass der Durchmesser den Kreis halbiert. Andere Aussagen zur Geometrie wurden von Thales selbst aufgestellt. Der heute [[Satz von Thales|nach Thales benannte Satz]] besagt, dass [[Peripheriewinkel]] im Halbkreis [[Rechter Winkel|rechte Winkel]] sind. Insbesondere war Thales der erste, bei dem der Begriff des [[Winkel]]s auftrat.<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 31–33.</ref>
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| Die erste bekannte Definition des Kreises geht auf den griechischen Philosophen [[Platon]] (428/427–348/347 v. Chr.) zurück, die er in seinem [[Platonischer Dialog|Dialog]] ''[[Parmenides (Platon)|Parmenides]]'' formulierte: {{Zitat|Rund ist doch wohl das, dessen äußerste Teile überall vom Mittelpunkt aus gleich weit entfernt sind.|Platon: ''Parmenides''|ref=<ref>Max Koecher, Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie.'' Springer, Berlin, Heidelberg, 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 145.</ref>}}
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| Zirka 300 Jahre vor Christus lebte der griechische Mathematiker [[Euklid von Alexandria]]. Über ihn selbst ist wenig bekannt, aber sein Werk im Bereich der Geometrie war beachtlich. Sein Name ist heute noch in Zusammenhängen wie [[euklidischer Raum]], [[euklidische Geometrie]] oder [[euklidische Metrik]] in Gebrauch. Sein wichtigstes Werk waren ''[[Die Elemente]],'' eine dreizehnbändige Abhandlung, in der er die [[Arithmetik]] und [[Geometrie]] seiner Zeit zusammenfasste und systematisierte. Er folgerte die mathematischen Aussagen aus [[Axiom|Postulaten]] und begründete damit die euklidische Geometrie. Der dritte Band der Elemente beschäftigte sich mit der Lehre über den Kreis.<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 49–50.</ref>
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| Von [[Archimedes]], der vermutlich zwischen 287 v. Chr. und 212 v. Chr. auf Sizilien lebte, ist eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel ''Kreismessung'' überliefert.<ref name="Archimedes">In englischer Übersetzung von [[Thomas Heath|Thomas Little Heath]]: ''The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters.'' University press, Cambridge 1897. ''Kreismessung:'' S. 91 ff., ''Über Spiralen:'' S. 151 ff., [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABW0362.0001.001 (Digitalisat).]</ref> Er bewies in dieser Arbeit, dass der Flächeninhalt eines Kreises gleich dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Kreisradius als der einen und dem Kreisumfang als der anderen [[Kathete]] ist. Der Flächeninhalt des Kreises lässt sich also als {{nowrap|½ · Radius · Umfang}} angeben. Mit dieser Erkenntnis führte er das Problem der [[Quadratur des Kreises]] auf die Frage der Konstruierbarkeit des Umfangs aus dem vorgegebenen Radius zurück.
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| In seiner Abhandlung ''Kreismessung'' konnte Archimedes ebenfalls zeigen, dass der Umfang eines Kreises größer als 3<sup>10</sup>/<sub>71</sub> und kleiner als 3<sup>1</sup>/<sub>7</sub> des Durchmessers ist. Für praktische Zwecke wird diese Näherung <sup>22</sup>/<sub>7</sub> (~ 3,143) heute noch verwendet.
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| Aus diesen beiden Aussagen folgert man, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises zum Quadrat seines Durchmessers nahezu wie <sup>11</sup>/<sub>14</sub> verhält. Euklid war bereits bekannt, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält.<ref>''[[Euklids Elemente]].'' XII, § 2.</ref> Archimedes gibt hier eine gute Näherung der Proportionalitätskonstante an.
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| In einer weiteren Arbeit ''Über Spiralen''<ref name="Archimedes" /> beschreibt Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten [[Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]]. Mit dieser Konstruktion war es Archimedes möglich, den Umfang eines Kreises auf einer Geraden abzutragen. Auf diese Weise konnte nun der Flächeninhalt eines Kreises exakt bestimmt werden. Jedoch kann diese Spirale nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.<ref>Siehe Gericke: ''Antike und Orient.'' S. 120 ff.</ref>
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| [[Apollonios von Perge]] lebte zirka 200 Jahre vor Christus. In seiner Kegelschnittlehre ''Konika'' fasste er unter anderem die [[Ellipse]] und den Kreis als Schnitte eines geraden Kreiskegels auf – genauso wie es heute noch in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] definiert wird. Seine Erkenntnisse gehen auf seine Vorgänger Euklid und [[Aristaios der Ältere|Aristaios]] (um 330 v. Chr.) zurück, deren verfasste Abhandlungen über Kegelschnitte jedoch nicht mehr überliefert sind.<ref>Scriba, Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie.'' 2005, S. 40–42.</ref>
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| Nach Apollonios ist weiterhin das [[Apollonisches Problem|apollonische Problem]] benannt, zu drei gegebenen Kreisen mit den euklidischen Werkzeugen Lineal und Zirkel die Kreise zu konstruieren, die die gegebenen berühren. Jedoch im Vergleich zu Euklids Elementen, die auch im Mittelalter die Grundlage der Geometrie bildeten, fanden die Werke von Apollonios zunächst nur im islamischen Bereich Beachtung. In Westeuropa erlangten seine Bücher erst im 17. Jahrhundert größere Bedeutung, als [[Johannes Kepler]] die Ellipse als die wahre Bahn eines Planeten um die Sonne erkannte.<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 72–73.</ref>
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| <!-- === Mittelalter ===
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| Der folgende Abschnitt sollte belegt werden und in einen eigenen Abschnitt zur Geschichte geschoben werden.
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| Die Symmetrieeigenschaften dürften der Grund dafür sein, dass der Kreis von jeher als besonders vollkommen empfunden wurde. Wegen dieser Vollkommenheit gingen die [[Liste von Astronomen|Astronomen]] lange Zeit fälschlicherweise davon aus, dass [[Planet]]en die [[Sonne]] auf [[Kreisbahn]]en umrunden, bis schließlich [[Johannes Kepler]] erkannte, dass die Planetenbahnen auf [[Ellipse]]n verlaufen.-->
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| === Renaissance ===
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| In der Wissenschaftsgeschichte nennt man den Zeitraum zwischen 1400 n. Chr. und 1630 n. Chr. üblicherweise [[Renaissance]], auch wenn der zeitliche Abschnitt nicht mit der Periodisierung etwa der Kunstgeschichte übereinstimmt. In dieser Zeit fanden Euklids ''Elemente'' wieder mehr Beachtung. Sie gehörten zu den ersten gedruckten Büchern und wurden in den darauffolgenden Jahrhunderten in vielen verschiedenen Ausgaben verlegt. [[Erhard Ratdolt]] stellte 1482 in Venedig die erste gedruckte Ausgabe der ''Elemente'' her. Eine der bedeutendsten Ausgaben von Euklids ''Elementen'' wurde von dem Jesuiten [[Christoph Clavius]] herausgegeben. Er fügte den eigentlichen Texten Euklids neben den spätantiken Büchern XIV und XV noch ein sechzehntes Buch und weitere umfangreiche Ergänzungen hinzu. Beispielsweise ergänzte er eine Konstruktion der gemeinsamen Tangenten zweier Kreise.<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 247–248.</ref>
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| === 19. Jahrhundert ===
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| [[Datei:Carl Louis Ferdinand von Lindemann.jpg|mini|hochkant|Ferdinand von Lindemann]]
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| Nach Vorleistungen von [[Leonhard Euler]], der die [[eulersche Identität]] aufstellte, [[Johann Heinrich Lambert]] und [[Charles Hermite]] konnte [[Ferdinand von Lindemann]] 1882 beweisen, dass die Zahl π [[Transzendente Zahl|transzendent]] ist. Das heißt, es gibt keine [[Polynomfunktion]] mit [[Rationale Zahl|rationalen]] Koeffizienten, für die π eine Nullstelle ist. Da jedoch schon im 17. Jahrhundert gezeigt wurde, dass die Kreiszahl π eine Nullstelle einer solchen Polynomfunktion sein müsse, damit die [[Quadratur des Kreises]] mit Zirkel und Lineal funktioniere, wurde somit zugleich bewiesen, dass es kein solches Verfahren geben kann.<ref>Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: ''5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer).'' Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 405–406.</ref>
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| == Gleichungen ==
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| In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] werden geometrische Objekte mit Hilfe von [[Gleichung]]en beschrieben. Punkte in der Ebene werden dazu meist durch ihre [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] <math>(x,y)</math> dargestellt und ein Kreis ist dann die Menge aller Punkte, deren Koordinaten die jeweilige Gleichung erfüllen.
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| === Koordinatengleichung ===
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| Der [[Euklidischer Abstand|euklidische Abstand]] eines Punktes <math>\mathrm{X} = (x,y)</math> vom Punkt <math>\mathrm{M} = (x_M,y_M)</math> berechnet sich als
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| :<math>\overline{\rm XM} = \sqrt{(x-x_M)^2+(y-y_M)^2}.</math>
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| Durch Quadrieren der definierenden Gleichung <math>\overline{\rm XM} = r</math> ergibt sich die Koordinatengleichung
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| :<math>\left(x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M\right)^2 = r^2</math>
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| für die Punkte <math>(x,y)</math> auf dem Kreis mit Mittelpunkt <math>\mathrm{M} = (x_M,y_M)</math> und Radius <math>r</math>.
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| Ausmultipliziert ergibt sich daraus:
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| :<math>x^2 + y^2 + a x + by + c = 0</math>
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| mit
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| :<math>a = -2 x_M</math>, <math>b = -2 y_M</math> und <math>c = x_M^2 + y_M^2 - r^2</math>.
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| Ein wichtiger Spezialfall ist die Koordinatengleichung des [[Einheitskreis]]es
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| :<math>x^2 + y^2 = 1.</math>
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| === Funktionsgleichung ===
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| Da der Kreis kein [[Funktionsgraph]] ist, lässt er sich auch nicht durch eine [[Funktionsgleichung#Definition|Funktionsgleichung]] darstellen. Behelfsweise kann ein ''Paar'' von Funktionsgleichungen
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| :<math>y = y_M \pm \sqrt{r^2 - (x-x_M)^2}</math>
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| verwendet werden. Für den Einheitskreis vereinfacht sich dieses zu
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| :<math>y = \pm \sqrt{1 - x^2}.</math>
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| === Parameterdarstellung ===
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| Eine andere Möglichkeit, einen Kreis durch Koordinaten zu beschreiben, bietet die Parameterdarstellung (siehe auch [[Polarkoordinate]]n):
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| <math>\begin{align}
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| x &= x_M + r\cos\varphi\\
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| y &= y_M + r\sin\varphi
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| \end{align}</math>
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| Hier werden die Koordinaten <math>x</math> und <math>y</math> durch den [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] <math>\varphi</math> ausgedrückt, der alle Werte mit <math>0 \le \varphi < 2 \pi</math> annehmen kann.
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| Wendet man auch diese Gleichungen speziell auf den Einheitskreis an, so erhält man:
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| <math>\begin{align}
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| x &= \cos\varphi\\
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| y &= \sin\varphi
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| \end{align}</math>
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| Es ist auch eine Parameterdarstellung ohne den Rückgriff auf trigonometrische Funktion möglich ''(rationale Parametrisierung),'' allerdings wird dabei die gesamte Menge der reellen Zahlen als Parameterbereich benötigt und der Punkt <math>(x_M-r,y_M)</math> wird nur als Grenzwert für <math>t \to \pm \infty</math> erreicht.
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| <math>\begin{align}
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| x &= x_M + r \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
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| y &= y_M + r \frac{2t}{1+t^2}
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| \end{align}</math>
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| Für den Einheitskreis ergibt sich dann:
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| <math>\begin{align}
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| x &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
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| y &= \frac{2t}{1+t^2}
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| \end{align}</math>
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| === Komplexe Darstellung ===
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| In der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]] lässt sich der Kreis um <math>m \in \C</math> mit Radius <math>r > 0</math> durch die Gleichung
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| :<math>|z-m| = r</math> | |
| darstellen. Mit Hilfe der komplexen [[Exponentialfunktion]] erhält man die Parameterdarstellung
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| :<math>z = m + r e^{i \varphi},\quad 0 \leq \varphi < 2\pi.</math>
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| == Kreisberechnung ==
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| [[Datei:Pi-unrolled-720.gif|mini|Umfang des Kreises mit d = 1]]
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| === Kreiszahl ===
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| {{Hauptartikel|Kreiszahl}}
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| Da alle Kreise [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]] sind, ist das Verhältnis von Kreisumfang und Kreisdurchmesser für alle Kreise konstant. Der Zahlenwert dieses Verhältnisses wird in der Elementargeometrie als Definition für die Kreiszahl <math>\pi = 3{,}14159\dots</math> verwendet. Es handelt sich hierbei um eine [[transzendente Zahl]], bei der sich außerdem gezeigt hat, dass sie in vielen Bereichen der höheren Mathematik eine herausragende Bedeutung besitzt.
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| === Umfang ===
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| Im Rahmen der Elementargeometrie ist <math>\pi</math> das Verhältnis von Kreisumfang <math>U</math> zu dessen Durchmesser <math>d</math>, und zwar für beliebige Kreise. Somit gilt
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| :<math>U = \pi \, d = 2 \pi \, r.</math>
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| Mit <math>r = \tfrac{1}{2} d</math> ist der Radius des Kreises gemeint.
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| === Kreisfläche ===
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| [[Datei:Circle Area de.svg|mini|links|hochkant=0.8|Die Zeichnung verdeutlicht, dass der Flächeninhalt einer Kreisscheibe kleiner als <math>4r^2</math> sein muss.]]
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| [[Datei:area of a circle.svg|mini|hochkant=1.7|Darstellung einer Näherung für die Kreisfläche]]
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| Der [[Flächeninhalt]] der Kreisfläche <math>A</math> ([[Latein|lat.]] ''area:'' Fläche) ist proportional zum Quadrat des [[Radius]] <math>r</math> bzw. des [[Durchmesser]]s <math>d</math> des Kreises. Man bezeichnet ihn auch als Kreisinhalt.
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| Um die Formel für den Kreisinhalt zu erhalten, sind [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]]-Betrachtungen unerlässlich. Recht anschaulich ergibt sich eine solche aus der nebenstehenden Zeichnung:
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| Die Kreisfläche ist zerlegungsgleich mit der Fläche der rechten Figur. Diese nähert sich bei feiner werdender Sektoreinteilung einem Rechteck an mit der Länge <math>\pi \, r</math> und der Breite {{Zeile|<math>r</math>.}} Die Flächenformel ist somit
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| :<math>A = \pi r^2 = \frac{\pi \, d^2}{4} \approx 0{,}78540 \; d^2.</math>
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| Die Flächenformel kann zum Beispiel durch [[Integralrechnung|Integrieren]] der [[#Funktionsgleichung|Kreisgleichung]] oder mit Hilfe der unten beschriebenen [[#Näherungsrechnungen|Annäherung]] durch regelmäßige Vielecke bewiesen werden.
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| {{Absatz}}
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| === Durchmesser ===
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| {{Hauptartikel|Durchmesser}}
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| Der Durchmesser <math>d</math> eines Kreises mit Flächeninhalt <math>A</math> und mit Radius <math>r</math> lässt sich durch
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| :<math>d = 2r = 2 \sqrt{\frac A\pi} \approx 1{,}1284 \; \sqrt A</math>
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| berechnen.
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| === Krümmung ===
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| Eine im Vergleich zu den bis jetzt beschriebenen Größen weniger elementare Eigenschaft des Kreises ist die [[Krümmung]]. Zur präzisen Definition der Krümmung werden Begriffe aus der [[Analysis]] benötigt, sie lässt sich jedoch aufgrund der Symmetrieeigenschaften des Kreises einfach berechnen.
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| Anschaulich gibt die Krümmung in jedem Punkt <math>\mathrm P</math> an, wie stark der Kreis in der unmittelbaren Umgebung des Punktes <math>\mathrm P</math> von einer Geraden abweicht. Die Krümmung <math>\kappa</math> des Kreises im Punkt <math>\mathrm P</math> lässt sich durch
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| :<math>\kappa(\mathrm P) = \frac{1}{r}</math>
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| berechnen, wobei <math>r</math> wieder der Radius des Kreises ist. Im Gegensatz zu anderen mathematischen [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] hat der Kreis in jedem Punkt die gleiche Krümmung. Außer dem Kreis hat nur noch die Gerade eine konstante Krümmung, mit {{Zeile|<math>\kappa = 0</math>.}} Bei allen anderen Kurven ist die Krümmung vom Punkt <math>\mathrm P</math> abhängig.
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| === Weitere Formeln ===
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| {{Siehe auch|Formelsammlung Geometrie}}
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| In den folgenden Formeln bezeichnet <math>\alpha</math> den Sektorwinkel im [[Bogenmaß]]. Bezeichnet <math>\alpha'</math> den Winkel im [[Gradmaß]], so gilt die Umrechnung {{Zeile|<math>\alpha = \tfrac{\pi}{180^{\circ}} \alpha'</math>.}}
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| {| class="wikitable"
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| |- class='"hintergrundfarbe6'
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| ! colspan="2"| Formeln zum Kreis
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| |-
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| ! style="text-align:left;"| Fläche eines [[Kreisring]]es
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| | <math>A = \pi (r_a^2-r_i^2)</math>
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| |-
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| ! style="text-align:left;"| Länge eines Kreisbogens
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| | <math>L_B = r \alpha</math>
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| |-
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| ! style="text-align:left;"| Fläche [[Kreissektor]]
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| | <math>A_\mathrm{SK} = \frac{r^2}{2} \alpha</math>
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| |-
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| ! style="text-align:left;"| Fläche eines [[Kreissegment]]s
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| | <math>A_\mathrm{SG} = \frac{r^2}{2} \cdot \left(\alpha-\sin\alpha\right)</math>
| |
| |-
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| ! style="text-align:left;"| Länge [[Kreissehne]]
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| | <math>l_\mathrm{KS} = 2r \sin\frac \alpha 2</math>
| |
| |-
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| ! style="text-align:left;"| Höhe (Kreissegment)
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| | <math>h = r-r \cos\frac \alpha 2</math>
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| |}
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| == Näherungen für den Flächeninhalt ==
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| Da die Kreiszahl <math>\pi</math> eine [[transzendente Zahl]] ist, gibt es kein Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal, mit dem man den Flächeninhalt exakt bestimmen kann. Außerdem sind transzendente Zahlen auch [[Irrationale Zahl|irrational]], und daher hat <math>\pi</math> auch keine [[Festkommazahl|endliche Dezimalbruchentwicklung]], weshalb der Kreisflächeninhalt bei [[Rationale Zahl|rationalem]] Radius auch keine endliche Dezimalbruchentwicklung besitzt. Aus diesen Gründen wurden bis heute unterschiedliche Näherungsverfahren für den Flächeninhalt und somit auch den Umfang eines Kreises entwickelt. Manche der Näherungsverfahren, wie beispielsweise das im Abschnitt ''[[#Annäherung durch Vielecke|Annäherung durch Vielecke]]'' erläuterte Verfahren, können durch mehrfache Wiederholung ein beliebig genaues Ergebnis liefern.
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| === Annäherung durch Quadrate ===
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| Ein Kreis mit Radius <math>r</math> wird mit einem Quadrat der Seitenlänge <math>2r</math> umschrieben. Ihm wird weiter ein Quadrat mit der Diagonalen <math>2r</math> einbeschrieben. Der Flächeninhalt des äußeren Quadrates ist {{Zeile|<math>4r^2</math>,}} der des inneren nach der [[Dreiecksfläche]]n­formel <math>2r^2</math> und der [[Arithmetisches Mittel|Mittelwert]] ist somit {{Zeile|<math>3r^2</math>.}} Mit dieser Näherung <math>3r^2</math> wird die Kreisfläche mit einem [[Fehlerschranke#Relativer Fehler|relativen Fehler]] von weniger als 5 % bestimmt.
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| === Auszählen in einem Raster ===
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| Die Kreisfläche lässt sich annähernd bestimmen, indem man ihr viele kleine Quadrate unterlegt (z. B. mit [[Millimeterpapier]]). Zählt man alle Quadrate, die vollständig innerhalb des Kreises liegen, so erhält man einen etwas zu niedrigen Wert für die Fläche, zählt man auch alle Quadrate mit, die den Kreis lediglich schneiden, so ist der Wert zu groß. Der Mittelwert beider Ergebnisse ergibt eine Näherung für den Flächeninhalt des Kreises, deren Güte mit der Feinheit des Quadratrasters steigt.
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| [[Datei:KREZQUAD Kreisflaechen Integration.png|mini|Kreisflächen-Integration]]
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| === Annäherung durch Integration ===
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| Man kann die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen [[Integralrechnung|zusammensetzen]]. Dazu verwendet man die Gleichungen
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| :<math>y = \pm \sqrt{r^2 - x^2}</math> und <math>A_K = \pi r^2 = \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2-x^2}\,\mathrm dx</math>.
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| === Annäherung durch Vielecke ===
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| [[Datei:Circle approximation with polygons.svg|mini|Annäherung an den Umkreis über ein Sechs- und ein Zwölfeck]]
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| Bei einer anderen Möglichkeit zur Kreisflächenbestimmung ist in den Kreis ein regelmäßiges [[Sechseck]] einzuzeichnen, dessen Ecken auf dem Kreis liegen. Werden nun die Seitenmitten vom Mittelpunkt aus auf den Kreis projiziert und diese neuen Punkte mit den alten Ecken verbunden, so entsteht ein regelmäßiges [[Zwölfeck]]. Wird dieser Vorgang wiederholt, entstehen nacheinander ein 24-Eck, ein 48-Eck und so fort.
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| In jedem Sechseck sind die Seiten gleich lang wie der Umkreisradius. Die Seiten der folgenden Vielecke ergeben sich mit Hilfe des [[Satz des Pythagoras|Satzes von Pythagoras]] jeweils aus den Seiten der vorhergehenden. Aus den Seiten lassen sich die Flächen der Vielecke durch [[Dreiecksfläche]]n­berechnung exakt bestimmen. Sie sind alle etwas kleiner als die Kreisfläche, der sie sich bei steigender Eckenzahl jedoch annähern.
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| Entsprechend kann man mit einem Sechseck verfahren, das von außen an den Kreis gezeichnet ist, dessen Seitenmitten also auf ihm liegen. Man erhält eine fallende [[Folge (Mathematik)|Folge]] von Flächenmaßen, deren [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] wiederum die Kreisfläche ist.
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| == Geometrische Sätze und Begriffe rund um den Kreis ==
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| === Symmetrie und Abbildungseigenschaften ===
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| Der Kreis ist eine geometrische Figur von sehr hoher [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]]. Jede Gerade durch seinen Mittelpunkt ist eine [[Achsensymmetrie|Symmetrieachse]]. Zudem ist der Kreis [[Symmetrie (Geometrie)#Rotationssymmetrie|rotationssymmetrisch]], d. h., jede [[Drehung]] um den Mittelpunkt bildet den Kreis auf sich selbst ab. In der [[Gruppentheorie]] werden die genannten Symmetrieeigenschaften des Kreises durch seine [[Symmetriegruppe]] charakterisiert. Formal ergibt sich dafür die [[orthogonale Gruppe]] <math>\mathrm O(2)</math>, das ist die [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] der [[Orthogonale Matrix|orthogonalen]] {{Zeile|<math>2 \times 2</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]].}}
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| Alle Kreise mit dem gleichen Radius sind zueinander [[Kongruenz (Geometrie)|kongruent]], lassen sich also durch [[Parallelverschiebung]]en aufeinander abbilden. Zwei beliebige Kreise sind zueinander [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]]. Sie lassen sich stets durch eine [[zentrische Streckung]] und eine Parallelverschiebung aufeinander abbilden.
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| === Kreiswinkel und Winkelsätze ===
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| [[Datei:Sehnentangentenwinkel.svg|mini|Kreiswinkel: Der Umfangswinkel <math>\gamma</math> hängt nicht von der Lage des Punktes C auf dem Kreisbogen ab. Er ist halb so groß wie der Zentriwinkel <math>\varphi</math> und genauso groß wie der Sehnentangentenwinkel <math>\delta</math>.]]
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| [[Datei:Triangle-thales-circle.svg|mini|Halbkreis mit rechtwinkligen Dreiecken]]
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| Eine Kreissehne mit Endpunkten A und B teilt einen gegebenen Kreis in zwei Kreisbögen. Ein Winkel <math>\angle\rm ACB</math> mit Scheitel C auf einem der Kreisbögen wird ''Umfangswinkel'' oder ''Peripheriewinkel'' genannt. Der Winkel <math>\angle\rm AMB</math> mit Scheitel im Mittelpunkt M heißt ''Mittelpunktswinkel'' oder ''Zentriwinkel.''
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| Im Spezialfall, dass die Sehne den Mittelpunkt enthält, also ein Durchmesser des Kreises ist, ist der Mittelpunktswinkel ein gestreckter Winkel mit 180°. In dieser Situation gilt eine grundlegende Aussage der Kreisgeometrie, der Satz von Thales: Er besagt, dass Umfangswinkel über einem Durchmesser stets rechte Winkel sind, also 90° betragen. Der Kreis um das [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklige Dreieck]] wird in dieser Situation auch ''Thaleskreis'' genannt.
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| Auch im Fall einer beliebigen Kreissehne sind alle Umfangswinkel, die auf dem gleichen Kreisbogen liegen, gleich groß. Diese Aussage wird auch ''Umfangswinkelsatz'' genannt. Der Kreisbogen, auf dem die Scheitel der Umfangswinkel liegen, heißt ''Fasskreisbogen.'' Liegen Umfangswinkel und Zentriwinkel auf der gleichen Seite der Sehne, dann ist der Zentriwinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel ''(Kreiswinkelsatz).'' Zwei Umfangswinkel, die auf gegenüberliegenden Seiten der Sehne liegen, ergänzen einander zu 180°.
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| Der Umfangswinkel ist genauso groß wie der spitze ''Sehnentangentenwinkel'' zwischen der Sehne und der durch einen ihrer Endpunkte verlaufenden Tangente ''(Sehnentangentenwinkelsatz).''
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| === Sätze über Sehnen, Sekanten und Tangenten ===
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| Für Kreise gilt der [[Sehnensatz]], der besagt: Schneiden zwei Sehnen [AC] und [BD] einander in einem Punkt S, so gilt
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| :<math>\overline{\rm AS} \cdot \overline{\rm CS} = \overline{\rm BS} \cdot \overline{\rm DS},</math>
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| d. h., die Produkte der jeweiligen Sehnenabschnitte sind gleich.
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| Zwei Sehnen eines Kreises, die einander nicht schneiden, können verlängert werden zu Sekanten, die entweder parallel sind oder einander in einem Punkt S außerhalb des Kreises schneiden. Ist Letzteres der Fall, so gilt analog zum Sehnensatz der [[Sekantensatz]]
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| :<math>\overline{\rm AS} \cdot \overline{\rm CS}= \overline{\rm BS} \cdot \overline{\rm DS}.</math>
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| Im Fall einer Sekante, die den Kreis in den Punkte A und C schneidet, und einer Tangente, die den Kreis im Punkt B berührt, gilt der [[Sekanten-Tangenten-Satz]]: Ist S der Schnittpunkt von Sekante und Tangente, so folgt
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| :<math>\overline{\rm AS} \cdot \overline{\rm CS} = {\overline{\rm BS}}^2.</math>
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| === Umkreise und Inkreise ===
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| Sind A, B, C drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, also ein nicht ausgeartetes [[Dreieck]] bilden, dann existiert ein eindeutig bestimmter Kreis durch diese Punkte, nämlich der [[Umkreis]] des Dreiecks ABC. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der drei [[Streckensymmetrale|Mittelsenkrechten]] des Dreiecks. Ebenso kann jedem Dreieck ein eindeutig bestimmter Kreis ''einbeschrieben'' werden, der die drei Seiten berührt, d. h., die Dreiecksseiten bilden Tangenten des Kreises. Dieser Kreis wird [[Inkreis]] des Dreiecks genannt. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei [[Winkelhalbierende]]n.
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| In der Elementargeometrie werden noch weitere [[Kreise am Dreieck]] betrachtet: Die [[Ankreis]]e liegen außerhalb des Dreiecks und berühren eine Seite und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten. Ein weiterer interessanter Kreis am Dreieck ist der [[Feuerbachkreis]], benannt nach [[Karl Wilhelm Feuerbach]]. Auf ihm liegen die drei Seitenmittelpunkte und die drei [[Fußpunkt]]e der [[Höhe (Geometrie)|Höhen]]. Da auf ihm außerdem die drei Mittelpunkte der Strecken zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken des Dreiecks liegen, wird der Feuerbachkreis auch ''Neunpunktekreis'' genannt. Sein Mittelpunkt liegt wie der [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]], der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der [[Eulersche Gerade|eulerschen Geraden]].
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| Im Gegensatz zu Dreiecken besitzen [[Polygon]]e mit mehr als drei Ecken im Allgemeinen keinen Umkreis oder Inkreis. Für [[Regelmäßiges Vieleck|regelmäßige Vielecke]] existieren beide allerdings stets. Ein [[Viereck]], das einen Umkreis besitzt, wird [[Sehnenviereck]] genannt. Ein [[Konvexe Menge|konvexes]] Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn sich gegenüberliegende Winkel zu 180° ergänzen. Ein Viereck, das einen Inkreis besitzt, wird [[Tangentenviereck]] genannt. Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summe der Seitenlängen zweier gegenüberliegender Seiten gleich der Summe der beiden anderen Seitenlängen ist.
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| === Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen ===
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| {{Hauptartikel|Kreisspiegelung|Möbiustransformation}}
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| Die Kreisspiegelung, auch Inversion genannt, ist eine spezielle Abbildung der ebenen Geometrie, die eine „Spiegelung“ der euklidischen Ebene an einem gegebenen Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>\rm M</math> und Radius <math>r</math> beschreibt. Ist <math>\rm P \neq M</math> ein gegebener Punkt, dann ist sein Bildpunkt <math>\rm P'</math> dadurch bestimmt, dass er auf der [[Halbgerade]]n <math>\rm MP</math> liegt und sein Abstand von <math>\rm M</math> die Gleichung
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| :<math>\overline{\rm MP} \cdot \overline{\rm MP'} = r^2</math>
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| erfüllt. Die Kreisspiegelung bildet das Innere des gegebenen Kreises <math>k</math> auf sein Äußeres ab und umgekehrt. Alle Kreispunkte von <math>k</math> werden auf sich selbst abgebildet. Kreisspiegelungen sind [[Winkelverzerrung|winkeltreu]], [[Orientierung (Mathematik)|orientierungsumkehrend]] und kreistreu. Letzteres bedeutet, dass verallgemeinerte Kreise – das sind Kreise und Geraden – wieder auf verallgemeinerte Kreise abgebildet werden.
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| Die Hintereinanderausführung zweier Kreisspiegelungen ergibt eine Möbiustransformation. Möbiustransformationen – eine weitere wichtige Klasse von Abbildungen der Ebene – sind daher ebenfalls winkeltreu und kreistreu, allerdings orientierungserhaltend.
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| Kreisspiegelungen und Möbiustransformationen lassen sich besonders übersichtlich mit Hilfe komplexer Zahlen darstellen:
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| Bei einer Kreisspiegelung eines Punktes <math>z \in \C \setminus \{z_0\}</math> an dem Kreis <math>\{x \in \C: |x - z_0| = r \}</math> lautet die Formel für den Bildpunkt <math>w \in \C \setminus \{z_0\}</math>
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| :<math>w = z_0 + \frac{r^2}{\bar z - \bar z_0}.</math>
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| Für die Spiegelung am Einheitskreis gilt einfach <math>w = 1/ \bar z</math>.
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| Möbiustransformationen der komplexen Ebene werden durch ''gebrochen lineare Funktionen'' der Gestalt
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| :<math>w = \frac{a z + b}{c z + d}</math>
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| mit <math>a,b,c,d \in \C</math> und <math>ad \neq bc</math> dargestellt.
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| == Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ==
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| [[Datei:Drawing-a-circle-with-the-compasses.svg|mini|hochkant=0.8|In der Geometrie schlägt man Kreise mittels eines Zirkels.]]
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| Ein klassisches Problem der Geometrie ist die [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktion geometrischer Objekte mit Zirkel und Lineal]] in endlich vielen Konstruktionsschritten aus einer gegebenen Punktemenge. In jedem Schritt dürfen dabei Geraden durch gegebene oder bereits konstruierte Punkte gezogen werden sowie Kreise um solche Punkte mit gegebenem oder bereits konstruiertem Radius gezogen werden. Die dadurch konstruierten Punkte ergeben sich als Schnittpunkte zweier Geraden, zweier Kreise oder einer Geraden mit einem Kreis. Naturgemäß spielen daher bei allen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Kreise eine wichtige Rolle.
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| Im Folgenden sollen exemplarisch einige Konstruktionen angesprochen werden, die im Zusammenhang mit der Geometrie von Kreisen von Bedeutung sind.
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| === Thaleskreis ===
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| [[Datei:01-Thaleskreis und Tangenten.svg|hochkant=1.9|mini|Der Thaleskreis über einer gegebenen Strecke <math>\overline{\rm AB}.</math><br />
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| Tangenten mit Hilfe des Thaleskreises durch Punkt <math>\mathrm{P}</math> an den Kreis <math>k.</math>]]
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| Für die Konstruktion des Thaleskreises über einer gegebenen Strecke <math>\overline{\rm AB}</math> wird zunächst der Mittelpunkt <math>\mathrm{M}</math> dieser Strecke konstruiert, der auch der Mittelpunkt des Thaleskreises ist. Dazu werden um <math>\mathrm{A}</math> und <math>\mathrm{B}</math> jeweils zwei kurze Kreisbögen mit dem gleichen Radius <math>r</math> geschlagen, wobei <math>r</math> so groß gewählt werden muss, dass die vier Kreisbögen sich in zwei Punkten <math>C</math> und <math>D</math> schneiden. Das ist z. B. für <math>r = \overline{\rm AB}</math> der Fall. Die Strecke <math>\overline{\rm CD}</math> schneidet dann <math>\overline{\rm AB}</math> im Mittelpunkt {{Zeile|<math>\mathrm{M}</math>.}} Der gesuchte Thaleskreis ist nun der Kreis mit Mittelpunkt <math>\mathrm{M}</math> und Radius {{Zeile|<math>\overline{\rm AM} = \overline{\rm MB}</math>.}}
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| === Konstruktion von Tangenten ===
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| Gegeben sei ein Punkt <math>\mathrm{P}</math> außerhalb eines Kreises <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>\mathrm{M}</math> und es sollen die beiden Tangenten an den Kreis konstruiert werden, die durch den Punkt <math>\mathrm{P}</math> laufen. Diese elementare Konstruktionsaufgabe lässt sich einfach mit Hilfe des Satzes von Thales lösen: Man konstruiert den Thaleskreis mit der Strecke <math>\overline{\rm PM}</math> als Durchmesser. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit <math>k</math> sind dann die Berührpunkte der gesuchten Tangenten.
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| === Flächenverdoppelung ===
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| [[Datei:Kreis Flächenverdopplung.svg|hochkant=0.8|mini|links|Die Fläche des roten Kreises ist doppelt so groß wie die Fläche des kleinen, blauen Kreises.]]
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| Die Fläche eines Kreises lässt sich geometrisch verdoppeln, indem ein Quadrat gezeichnet wird, dessen eine Ecke im Kreismittelpunkt liegt, wobei zwei weitere Ecken auf dem Kreisbogen liegen. Durch die vierte Ecke wird ein Kreis um den alten Mittelpunkt gezogen. Dieses Verfahren wurde im 13. Jahrhundert im Bauhüttenbuch des [[Villard de Honnecourt]] dargestellt.
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| Dieses Verfahren funktioniert, da (nach dem [[Satz des Pythagoras]])
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| :<math>R^2 = r^2+r^2 = 2 r^2</math>
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| und damit der Flächeninhalt des großen Kreises
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| :<math>\pi R^2 = 2 \pi r^2</math>
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| genau doppelt so groß ist, wie der des kleinen Kreises.
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| {{Absatz}}
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| === Kreisteilung ===
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| {{Hauptartikel|Kreisteilung}}
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| Ein weiteres bereits in der Antike untersuchtes Konstruktionsproblem ist die Kreisteilung. Hierbei soll zu einer gegebenen [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] <math>n</math> einem gegebenen Kreis ein regelmäßiges {{Zeile|<math>n</math>-Eck}} einbeschrieben werden. Die auf dem Kreis gelegenen Eckpunkte teilen diesen dann in <math>n</math> gleich lange Kreisbögen. Diese Konstruktion ist nicht für alle <math>n</math> möglich: Mit Hilfe der [[Abstrakte Algebra|algebraischen]] Theorie der [[Körpererweiterung]]en lässt sich zeigen, dass sie genau dann durchführbar ist, wenn <math>n</math> eine [[Primfaktorzerlegung]] der Form
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| :<math>n = 2^k \cdot p_1 \dotsm p_m</math>
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| hat mit <math>k \in \N_0</math> und paarweise verschiedenen [[Fermat-Zahl|fermatschen Primzahlen]] {{Zeile|<math>p_1,\dots,p_m</math>,}} also Primzahlen der Form {{Zeile|<math>2^{2^r}+1</math>.}}
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| Damit ist die Konstruktion also beispielsweise für <math>n = 3,4,5,6,8,10,12,15,16,17</math> möglich, jedoch nicht für z. B. {{Zeile|<math>n=7,9,11,13,14</math>.}} [[Carl Friedrich Gauß]] wies im Jahre 1796 nach, dass die Konstruktion des regelmäßigen [[Siebzehneck]]s unter alleiniger Verwendung von [[Zirkel und Lineal]] möglich ist.
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| == Kreisberechnung in der Analysis ==
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| In der modernen [[Analysis]] werden die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] und die Kreiszahl <math>\pi</math> üblicherweise zunächst ohne Rückgriff auf die elementargeometrische Anschauung und auf spezielle Eigenschaften des Kreises definiert. So lassen sich etwa [[Sinus und Kosinus]] über ihre Darstellung als [[Potenzreihe]] definieren. Eine gängige Definition für den Wert von <math>\pi</math> ist dann das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus.
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| === Der Kreis als Kurve ===
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| In der [[Differentialgeometrie]], einem Teilgebiet der Analysis, das geometrische Formen mit Hilfe der [[Differentialrechnung|Differential-]] und [[Integralrechnung]] untersucht, werden Kreise als spezielle [[Kurve (Mathematik)|Kurven]] angesehen. Diese Kurven lassen sich mit Hilfe der oben genannten [[Parameterdarstellung]] als [[Weg (Mathematik)|Weg]] beschreiben. Legt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt eines Kreises mit Radius {{Zeile|<math>r</math>,}} dann ist durch die Funktion <math>f \colon [0, 2\pi] \to \R^2</math> mit
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| :<math>f(t) = \begin{pmatrix} r \cos t \\ r \sin t \end{pmatrix}</math>
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| eine solche Parametrisierung gegeben. Mit Hilfe der [[Trigonometrie|trigonometrischen Formel]] <math>\sin^2 t + \cos^2 t = 1</math> folgt für die [[euklidische Norm]] der parametrisierten Punkte {{Zeile|<math>|f(t)| = r</math>,}} das heißt, sie liegen tatsächlich auf einem Kreis mit Radius {{Zeile|<math>r</math>.}}
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| Da Sinus und Kosinus <math>2\pi</math>-[[Periodizität (Mathematik)|periodische]] Funktionen sind, entspricht das Definitionsintervall <math>[0,2\pi]</math> von <math>f</math> genau einem Kreisumlauf.
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| === Kreisumfang ===
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| Der Umfang des Kreises ergibt sich als [[Länge (Mathematik)|Länge]] des Weges <math>f</math> durch [[Integralrechnung|Integration]] zu
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| :<math>U = L(f) = \int_0^{2\pi} |f'(t)| \, dt = \int_0^{2\pi} \left|\begin{pmatrix} -r \sin t \\ r \cos t \end{pmatrix}\right| \,dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2 \sin^2 t + r^2\cos^2 t} \, dt = r \int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2 \pi r.</math>
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| Analog gilt für die Länge <math>s(t)</math> des durch <math>f|_{[0,t]}</math> gegebenen Teilkreisbogens {{Zeile|<math>s(t) = r t</math>.}} Dadurch erhält man als Parametrisierung des Kreises nach der Bogenlänge
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| :<math>\hat f(s) = \begin{pmatrix} r \cos (s/r) \\ r \sin(s/r)\end{pmatrix}</math>
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| mit <math>s \in [0,2\pi r]</math>.
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| === Flächeninhalt ===
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| Der Flächeninhalt <math>A</math> der Kreisscheibe <math>K = \{(x,y) \in \R^2: x^2 + y^2 \leq r^2\}</math>, also das [[Maß (Mathematik)|Maß]] der Menge {{Zeile|<math>K</math>,}} kann als (zweidimensionales) Integral
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| :<math>A = \int_K 1 \, d(x,y)</math>
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| dargestellt werden. Um die etwas mühsame Berechnung dieses Integrals in kartesischen Koordinaten zu umgehen, ist es günstig, eine [[Transformationssatz|Transformation]] <math>x = \rho\cos\varphi</math>, <math>y = \rho\sin\varphi</math> auf [[Polarkoordinaten]] durchzuführen. Damit ergibt sich
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| :<math>A = \int_0^{2\pi} \int_0^r \rho \, d\rho \, d\varphi = \int_0^r \rho \, d\rho \cdot \int_0^{2\pi} d\varphi = \frac{1}{2}r^2 \cdot 2\pi = \pi r^2.</math>
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| Eine andere Möglichkeit zur Berechnung der Kreisfläche besteht darin, die [[Sektorformel von Leibniz]] auf die Parameterdarstellung des Kreisrandes anzuwenden. Mit <math>x(t) = r \cos t</math>, <math>y(t) = r \sin t</math> erhält man damit ebenfalls
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| :<math>A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} x(t)y'(t) - x'(t)y(t)\, dt = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} r^2 \cos^2 t + r^2 \sin^2 t \, dt = \frac{1}{2} r^2 \int_0^{2\pi} dt = \pi r^2.</math>
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| === Krümmung ===
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| Für die oben hergeleitete Parametrisierung <math>\hat f(s)</math> des Kreises nach seiner Bogenlänge ergibt sich
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| :<math>\hat{f}'(s) = \begin{pmatrix} -\sin \frac sr \\ \cos \frac sr\end{pmatrix} \quad\text{und}\quad \hat{f}''(s) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{r}\cos \frac sr \\ -\frac{1}{r}\sin \frac sr\end{pmatrix}.</math>
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| Für die [[Krümmung]] des Kreises erhält man daher
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| :<math>\kappa = |\hat{f}''(s)| = \sqrt{\frac{1}{r^2}\cos^2 \frac sr + \frac{1}{r^2}\sin^2 \frac sr} = \frac{1}{r}.</math>
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| Die Krümmung des Kreises ist also konstant und der Krümmungsradius <math>\tfrac{1}{\kappa} = r</math> ist gerade sein Radius.
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| In der Differentialgeometrie wird gezeigt, dass eine ebene Kurve bis auf Kongruenz durch ihre Krümmung eindeutig bestimmt ist. Die einzigen ebenen Kurven mit konstanter positiver Krümmung sind daher Kreisbögen. Im Grenzfall, dass die Krümmung konstant gleich 0 ist, ergeben sich Geradenstücke.
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| === Isoperimetrisches Problem ===
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| {{Hauptartikel|Isoperimetrisches Problem}}
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| Unter allen Flächen der euklidischen Ebene mit gegebenem Umfang besitzt die Kreisfläche den größten Flächeninhalt. Umgekehrt hat die Kreisfläche bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang. In der Ebene ist der Kreis daher die eindeutig bestimmte Lösung des sog. isoperimetrischen Problems. Obwohl diese anschaulich einleuchtende Tatsache schon den Mathematikern im antiken Griechenland bekannt war, wurden formale Beweise erst im 19. Jahrhundert erbracht. Da eine Kurve gesucht ist, die ein [[Funktional]] maximiert, nämlich den umschlossenen Flächeninhalt, handelt es sich dabei aus moderner Sicht um ein Problem der [[Variationsrechnung]]. Ein gängiger Beweis für stückweise stetige Kurven verwendet die Theorie der [[Fourierreihe]]n.<ref>Hurwitz: ''Quelques applications geometriques des series de Fourier.'' Annales de l’Ecole Normale, Bd. 19, 1902, S. 357–408.<br />Der Beweis findet sich zum Beispiel in Blaschke: ''Vorlesungen über Differentialgeometrie.'' Bd. 1, Springer, 1924, S. 45.</ref>
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| == Verallgemeinerungen und verwandte Themen ==
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| === Sphäre ===
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| {{Hauptartikel|Sphäre (Mathematik)}}
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| Es ist möglich, den Kreis als Objekt der Ebene in den dreidimensionalen Raum zu verallgemeinern. Dann erhält man die Hülle einer [[Kugel]]. Dieses Objekt wird in der Mathematik Sphäre oder genauer 2-Sphäre genannt. Analog lässt sich die 2-Sphäre auf <math>n</math> Dimensionen zur {{Zeile|<math>n</math>-Sphäre}} verallgemeinern. In diesem Kontext nennt man den Kreis auch 1-Sphäre.
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| === Kegelschnitte ===
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| {{Hauptartikel|Kegelschnitt}}
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| [[Datei:Conic Sections de.svg|mini|Der Kreis als Kegelschnitt]]
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| In der [[Planimetrie|ebenen Geometrie]] kann der Kreis als spezielle [[Ellipse]] aufgefasst werden, bei der die beiden [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkte]] mit dem Kreismittelpunkt zusammenfallen. Beide [[Halbachsen der Ellipse|Halbachsen]] sind dabei gleich dem Kreisradius. Der Kreis ist daher ein spezieller Kegelschnitt: Er entsteht als Schnitt eines geraden Kreis[[Kegel (Geometrie)|kegels]] mit einer Ebene senkrecht zu Kegelachse. Er ist damit ein Spezialfall einer zweidimensionalen [[Quadrik]].
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| <!-- noch überprüfen, was hier genau beschrieben wird! -->
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| Hierbei ergibt sich eine weitere, äquivalente Definition für Kreise ([[Kreis des Apollonios]]): Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in der Ebene, für die der Quotient <math>q</math> ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten konstant ist. Die beiden Punkte liegen auf einem von <math>M</math> ausgehenden [[Strahl (Geometrie)|Strahl]] im Abstand <math>r/q</math> bzw. <math>r \cdot q</math> und wechselseitig auf der [[Pol und Polare|Polaren]] des jeweils anderen Punktes als Pol. Ähnliche Definitionen gibt es auch für die Ellipse (konstante Summe), [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]] (konstante Differenz) und die [[Cassinische Kurve]] (konstantes Produkt der Abstände).
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| === Kreise in der synthetischen Geometrie ===
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| In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] können Kreise in bestimmten [[Affine Ebene|affinen Ebenen]] (zum Beispiel [[Präeuklidische Ebene|präeuklidischen Ebenen]]) ohne einen Abstandsbegriff allein durch eine ''Orthogonalitätsrelation'' definiert werden, indem der Satz vom [[Umkreis]] (Mittellotensatz) zur Definition des Kreises verwendet wird. Dadurch kann dann ein schwächerer Begriff der „Abstands-“ oder „Längengleichheit“ von [[Paarmenge|Punktepaaren]] <math>(A,B)</math> in solchen Ebenen eingeführt werden. → Siehe dazu [[Präeuklidische Ebene]].
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| === Zeichnung im digitalen Raster ===
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| Für das Zeichnen von angenäherten Kreisen in einem Punktraster wurden mehrere [[Algorithmus|Algorithmen]] entwickelt, siehe dazu [[Rasterung von Kreisen]]. Diese Verfahren sind insbesondere für die [[Computergrafik]] von Belang. Für die zweifarbige Rasterung von Kreisen reichen die [[Grundrechenart]]en aus.
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| == Siehe auch == | | == Siehe auch == |
anthrowiki.at, 
anthro.world, 
biodyn.wiki und 
steiner.wiki
Wie Sie die Entwicklung von AnthroWiki durch Ihre Spende unterstützen können, erfahren Sie hier.
![{\displaystyle [\mathrm {MX} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df392cf388e4c6cf3cd7223cc72665a3b88d1baa)
Commons: Kreis - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
Wikibooks: Beweis der Transzendenz von e und π – im Beweisarchiv
Wiktionary: Kreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
