Quelltext der Seite Kreis

[[Datei:KreisMittelpunktRadius.svg|mini|Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r]]

Ein '''Kreis''' ist eine ebene [[geometrische Figur]]. Er wird definiert als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller Punkte einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die einen [[Konstante Funktion|konstanten]] [[Abstand]] zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem ''Mittelpunkt'') haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der '''Radius''' (von {{laS|radius}}, wörtlich „Stab“, „Speiche“ oder „Strahl“) oder ''Halbmesser'' des Kreises, er ist eine [[Positive Zahl|positive]] [[reelle Zahl]]. Ein Kreis mit dem Radius 1 wird als '''Einheitskreis''' bezeichnet. Der Kreis gehört zu den klassischen und [[Mathematisches Objekt|grundlegenden Objekten]] der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]]. Er lässt sich aber auch anders als nach dieser klassischen Definition beschreiben, nämlich als [[Apollonius-Kreis]]. Benannt ist er nach antiken Mathematiker [[Apollonios von Perge]]. Er ist definiert als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]], für die das [[Verhältnis (Mathematik)|Verhältnis]] (d.h. der [[Quotient]]) der Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten einen vorgegebenen konstanten Wert hat. Er wird deshalb gelegentlich auch als [[Quotientenkreis]] bezeichnet.

== Kreiszahl ==

Schon die [[Altes Ägypten|alten Ägypter]] und [[Babylonier]] versuchten, den [[Flächeninhalt]] des Kreises näherungsweise zu bestimmen. Besonders in der griechischen [[Antike]] war der Kreis wegen seiner Vollkommenheit von großem Interesse. Beispielsweise versuchte [[Archimedes]] erfolglos, mit den Werkzeugen [[Zirkel]] und [[Lineal]] den Kreis in ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können. Ein solches Verfahren zur Berechnung des Flächeninhalts nennt man die [[Quadratur des Kreises]]. Erst 1882 konnte [[w:Ferdinand von Lindemann|Ferdinand von Lindemann]] durch Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

[[Datei:area of a circle.svg|mini|hochkant=1.7|Eine Näherung für die Kreisfläche]]
Die '''Kreiszahl''' <math>\pi = 3{,}1415926\ldots,</math> ist eine [[irrationale Zahl]], die als das aufgrund der [[Ähnlichkeit]] für alle Kreise gleiche Verhältnis ihres Umfangs <math>U</math> zu deren [[Durchmesser]] <math>d</math> definiert ist. Daraus ergibt sich die bekannte [[Formel]] für den Kreisumfang:

:<math>U = d \pi = 2r \pi</math>

Die Flächenformel lässt sich anschaulich aus der nebenstehenden Zeichnung verstehen. Der Kreis wird dabei in immer feinere Sektoren zerlegt, die sich zu einem Rechteck mit der Breite <math>r \pi</math> und der Höhe <math>r</math> zusammenstellen lassen. Daraus ergibt sich die Formel für die Kreisfläche <math>A</math>:

:<math>A = r^2 \pi</math>

== Worterklärungen ==
=== Kreisflächen ===
Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], also ein [[Dimension (Mathematik)|eindimensionales]] Gebilde, und keine zweidimensionale [[Fläche (Mathematik)|Fläche]]. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe ''Kreislinie, Kreisrand'' oder ''Kreisperipherie''<ref>Ilja Nikolajewitsch Bronštein: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S.&nbsp;143.</ref> anstatt Kreis&nbsp;– im Gegensatz zur ''Kreisfläche'' oder ''Kreisscheibe.'' Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der ''abgeschlossenen'' Kreisfläche oder -scheibe und der ''[[Offene Menge|offenen]]'' (oder dem ''Kreisinneren''), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.

=== Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring ===
[[Datei:BogenSektorSegment.svg|mini|hochkant=2|Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment]]
[[Datei:Couronne.svg|mini|hochkant=1.0|Kreisring]]

Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein '''Kreisbogen'''. Eine [[Strecke (Geometrie)|Verbindungsstrecke]] von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als '''Kreissehne''' Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die '''Durchmesser'''. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.

Ein '''Kreissektor''' (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.

'''Kreissegmente''' (Kreisabschnitte)'' werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Ein '''Kreisring''' entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.

=== Tangente, Passante und Sekante ===
Für die Lage einer [[Gerade]]n in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten:
[[Datei:SekTangPass.svg|mini|links|Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante]]

* Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade [[Sekante]] (lateinisch ''secare'' = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als ''Zentrale.''
* Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine [[Tangente]] (lateinisch ''tangere'' = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht ([[Orthogonalität|orthogonal]], normal) zum entsprechenden Radius.
* Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als [[Passante]]. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. ''passante'' = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist ''passus'' = Schritt.

Die zweidimensionale Entsprechung der Tangente ist die '''Tangentialebene''', die ein dreidimensionales Objekt (z.&nbsp;B. eine [[Kugel]]) in einem Punkt berührt.
{{Absatz}}

== Formale Definition ==
[[Datei:Kreis.svg|mini|Ein Kreis mit Mittelpunkt <math>M</math>, Radius <math>r</math> und Durchmesser <math>d</math>.]]
In einer Ebene <math>E</math> ist ein Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>\mathrm{M} \in E</math> und Radius <math>r > 0</math> die Punktmenge
:<math>k = \left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} = r \right\}.</math><ref>Max Koecher, Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie.'' 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S.&nbsp;143.</ref>

Dabei ist der Radius <math>r</math> eine positive reelle Zahl, und <math>\overline{\mathrm{MX}}</math> bezeichnet die Länge der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>[\mathrm{MX}]</math>.

Der doppelte Radius heißt '''Durchmesser''' und wird oft mit <math>d</math> bezeichnet. Radius <math>r</math> und Durchmesser <math>d</math> sind durch die Beziehungen <math>d = 2r</math> oder <math>r = d/2</math> miteinander verknüpft.

Manchmal wird auch jede ''Strecke,'' die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als ''Radius'' bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als ''Durchmesser.'' Bei dieser Sprechweise ist die ''Zahl'' <math>r</math> die ''Länge'' jedes Radius und die Zahl <math>d</math> die Länge jedes Durchmessers.

Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge

<math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} < r \right\},</math>

die abgeschlossene Kreisscheibe als

<math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} \le r \right\}.</math>

== Zu etlichen weiteren Themen siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kreis}}

== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Kreisgeometrie}}
* {{WikipediaDE|Kategorie:Kreis}}
* {{WikipediaDE|Kreis}}
* {{WikipediaDE|Kleinkreis}} 
* {{WikipediaDE|Großkreis}}
* {{WikipediaDE|Kreisgruppe}}
* {{WikipediaDE|Kreistreue}}
* {{WikipediaDE|Zindlerkurve}}

== Literatur ==
* [[Dietrich Mahnke]]: ''Unendliche Sphäre und Allmittelpunkt - Beiträge zur Genealogie der mathematischen Mystik'', Niemeyer, Halle (Saale) 1937 [http://ophen.org/pub-134581 online]
* Ilka Agricola, Thomas Friedrich: ''Elementargeometrie.'' 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
* Christian Bär: ''Elementare Differentialgeometrie.'' 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
* Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: ''Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung.'' Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.
* [[Renatus Ziegler]]: ''Mathematik und Geisteswissenschaft: Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner'', Verlag am Goetheanum, Dornach 1992, ISBN 978-3723506455

== Weblinks ==
{{Commonscat|Circle geometry|Kreis}}
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π|Beweis der Transzendenz von e und π|im Beweisarchiv}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.mathematische-basteleien.de/kreis.htm „Mathematische Basteleien“ zum Kreis]
* [https://www.youtube.com/watch?v=x-YAkyNIr3g Der Kreis - Geometrie einfach erklärt] YouTube

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4032962-8}}

[[Kategorie:Konstruktion mit Zirkel und Lineal]]
[[Kategorie:Geometrische Figur]]
[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Formsymbol]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Einheit]]
[[Kategorie:Kreis|!]]
{{Wikipedia}}