Parabel (Mathematik): Unterschied zwischen den Versionen

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* In einem Flugzeug, das sich entlang einer Wurfparabel bewegt, herrscht Schwerelosigkeit. Solche [[Parabelflug|Parabelflüge]] werden zum Training von Astronauten verwendet.
* In einem Flugzeug, das sich entlang einer Wurfparabel bewegt, herrscht Schwerelosigkeit. Solche [[Parabelflug|Parabelflüge]] werden zum Training von Astronauten verwendet.
* In der Mathematik werden Parabeln häufig zur [[Approximation]] komplizierterer Funktionen verwendet, da sie nach den Geraden (Gleichung: <math>y=mx+b</math>) die einfachsten gekrümmten Funktionsgraphen (Gleichung: <math>y=ax^2+bx+c</math>) sind und sich besser als Geraden an gekrümmte Funktionsgraphen anschmiegen können. Im CAD-Bereich ([[Computer Aided Design]]) treten Parabeln als [[Bézierkurve]]n auf. Ein Vorteil der Parabeln gegenüber Kreisen, Ellipsen und Hyperbeln besteht darin, dass man sie als Funktionsgraph von [[Polynomfunktion]]en 2.&nbsp;Grades beschreiben kann.
* In der Mathematik werden Parabeln häufig zur [[Approximation]] komplizierterer Funktionen verwendet, da sie nach den Geraden (Gleichung: <math>y=mx+b</math>) die einfachsten gekrümmten Funktionsgraphen (Gleichung: <math>y=ax^2+bx+c</math>) sind und sich besser als Geraden an gekrümmte Funktionsgraphen anschmiegen können. Im CAD-Bereich ([[Computer Aided Design]]) treten Parabeln als [[Bézierkurve]]n auf. Ein Vorteil der Parabeln gegenüber Kreisen, Ellipsen und Hyperbeln besteht darin, dass man sie als Funktionsgraph von [[Polynomfunktion]]en 2.&nbsp;Grades beschreiben kann.
== Definition mit Leitlinie ==
[[Datei:Parabel-def-p-s.svg|280px|mini|Parabel: Definition mit Brennpunkt und Leitlinie, Halbparameter p]]
Eine Parabel kann geometrisch als [[Ortslinie]] beschrieben werden:
: Eine Parabel ist der [[Geometrischer Ort|geometrische Ort]] aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>P</math>, deren [[Abstand]] <math>d(P,F)</math> zu einem speziellen festen Punkt –&nbsp;dem [[Brennpunkt (Geometrie)|Brennpunkt]] <math>F</math>&nbsp;– gleich dem Abstand <math>d(P,l)</math> zu einer speziellen Geraden –&nbsp;der Leitlinie <math>l</math>&nbsp;– ist.
Als Punktmenge notiert:
:<math>\{P \mid d(P,F) = d(P,l)\}</math>
Der Punkt, der in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt ''Scheitel'' oder ''Scheitelpunkt'' <math>S</math> der Parabel. Die [[Verbindungsgerade]] von Brennpunkt und Scheitel wird auch ''Achse'' der Parabel genannt. Sie ist die einzige [[Achsensymmetrie|Symmetrieachse]] der Parabel.
Führt man Koordinaten so ein, dass <math>F=(0,f)\ ,f>0</math> ist und die Leitlinie die Gleichung <math>y=-f</math> besitzt, so ergibt sich für <math>P=(x,y)</math> aus <math>d(P,F) = d(P,l)</math> die Gleichung
:<math>y=\tfrac{1}{4f}x^2</math>
einer nach oben geöffneten Parabel.
Die halbe Weite <math>p</math> der Parabel in der Höhe des Brennpunktes ergibt sich aus <math>y=f=\tfrac{1}{4f}x^2</math> zu <math>p=2f</math> und heißt (analog zu Ellipse und Hyperbel) der ''Halbparameter'' der Parabel.
Der Halbparameter <math>p</math> ist wie bei Ellipse (im Hauptscheitel) und Hyperbel der ''Scheitelkrümmungskreisradius,'' also der Radius des Krümmungskreises an den Scheitelpunkt.
Bei einer Parabel ist <math>p</math> außerdem der Abstand des Brennpunktes zur Leitlinie.
Die Gleichung der Parabel lässt sich damit auch in der folgenden Form schreiben:
:<math> x^2=2py</math>
Vertauscht man <math>x</math> und <math>y</math>, so erhält man mit
: <math> y^2=2px</math>
die Gleichung einer nach rechts geöffneten Parabel.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==

Version vom 10. April 2018, 01:16 Uhr

Die Parabel ist einer der Kegelschnitte.
Ein hüpfender Ball beschreibt – wenn man Reibungsverluste vernachlässigt – Parabelbögen.
Wasserstrahlen beschreiben ebenfalls Parabeln, wenn man die Reibung vernachlässigt.

In der Mathematik ist eine Parabel (von lat. parabola zu altgriechisch παραβολή parabolḗ ‚Nebeneinanderstellung, Vergleichung, Gleichnis, Gleichheit‘; zurückzuführen auf παρά pará ‚neben‘ und βάλλειν bállein ‚werfen‘)[1] eine Kurve zweiter Ordnung. Neben dem Kreis, der Ellipse und der Hyperbel zählt sie zu den Kegelschnitten: Sie entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft und nicht durch die Kegelspitze geht. Eine Parabel kann daher als Ellipse angesehen werden, bei der einer der beiden Brennpunkte im Unendlichen liegt.

Die Parabel wurde von Menaichmos entdeckt und von Apollonios von Perge (etwa 262–190 v. Chr.) als parabolḗ[2] benannt.

Parabeln treten in der Mathematik häufig als Graphen quadratischer Funktionen auf.

Auch im täglichen Leben spielen Parabeln eine Rolle:

  • Die Funktionsweise von Parabolantennen und Parabolspiegeln beruht auf der geometrischen Eigenschaft der Parabel, parallel zu ihrer Achse einfallende Strahlen im Brennpunkt zu sammeln (siehe weiter unten).
  • Ein schräg nach oben geworfener Stein bewegt sich näherungsweise auf einer parabelförmigen Bahn, der Wurfparabel (s. hüpfender Ball, Springbrunnen). Dies hängt damit zusammen, dass Wurfbewegungen durch quadratische Funktionen beschrieben werden.
  • In einem Flugzeug, das sich entlang einer Wurfparabel bewegt, herrscht Schwerelosigkeit. Solche Parabelflüge werden zum Training von Astronauten verwendet.
  • In der Mathematik werden Parabeln häufig zur Approximation komplizierterer Funktionen verwendet, da sie nach den Geraden (Gleichung: ) die einfachsten gekrümmten Funktionsgraphen (Gleichung: ) sind und sich besser als Geraden an gekrümmte Funktionsgraphen anschmiegen können. Im CAD-Bereich (Computer Aided Design) treten Parabeln als Bézierkurven auf. Ein Vorteil der Parabeln gegenüber Kreisen, Ellipsen und Hyperbeln besteht darin, dass man sie als Funktionsgraph von Polynomfunktionen 2. Grades beschreiben kann.

Siehe auch

Literatur

  • Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „Gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.

Weblinks

Commons: Parabeln – Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wiktionary: Parabel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. ↑  Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag/Hölder-Pichler-Tempsky, München/Wien 1965.
  2. ↑ Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34; hier S. 17.
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