Funktion (Mathematik)

Graphen einiger Potenzfunktionen

Polynomfunktion mit mehreren Nullstellen

Als Funktion (von lat. functio „Tätigkeit, Verrichtung“) oder Abbildung wird in der Mathematik eine Relation zwischen zwei Mengen bezeichnet, bei der jedem Element der Definitionsmenge $D$ (Funktionsargument, unabhängige Variable, $x$-Wert) genau ein Element der Zielmenge bzw. des Wertevorrats $Z$ (Funktionswert, abhängige Variable, $y$-Wert) zugeordnet wird:

$f\colon \,D\to Z,\;x\mapsto y$,   oder äquivalent:   $f\colon \,{\begin{cases}D\to Z\\x\mapsto y\end{cases}}$

Grundlagen

Eine Funktion kann etwa durch eine Funktionsgleichung mit zugehöriger Definitionsmenge oder durch eine eindeutige Zuordnungsvorschrift angegeben werden, z.B.:

$f(x)=x^{2},\qquad x\in \mathbb {N}$

oder

$x\mapsto x^{2},\qquad x\in \mathbb {N}$

Ein Element $x_{0}$ der Definitionsmenge heißt Nullstelle, wenn gilt: $f\left(x_{0}\right)=0$.

Graphisch können Funktionen in einem zweidimensionalen Koordinatensystem veranschaulicht werden, wobei auf der horizontalen $x$-Achse die Funktionsargumente und auf der $y$-Achse die zugehörigen Funktionswerte eingezeichnet sind. Die nebenstehende Grafik zeigt etwa die Funktionsgraphen einiger Potenzfunktionen:

$f\colon x\mapsto ax^{r}\qquad a,x,r\in \mathbb {R}$

Glatte Funktion

Eine glatte Funktion ist stetig und unendlich oft differenzierbar.

Konstante Funktion

Eine konstante Funktion (von lat. constans „feststehend“) nimmt für alle Argumente stets denselben Funktionswert an, d.h. eine Funktion $f$ ist genau dann konstant, wenn für alle $x,y\in A$ gilt: $f(x)=f(y)$.

Lineare Funktion

Eine lineare Funktion enthält die Unbekannte(n) nur in der ersten Potenz; in ihrer einfachsten Form lautet daher ihre Funktionsgleichung mit den konstanten Parametern $a,b$:

$f(x)=a\cdot x+b$

Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Steigung gleich $a$ ist.

Indikatorfunktion

Eine Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion kann nur nur ein oder zwei Funktionswerte annehmen. Damit können komplexe Menge mathematisch exakt erfasst werden. Ein Beispiel ist die nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte Dirichlet-Funktion, die die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen ist:

$D\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto D(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ rational,}}\\0,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ irrational.}}\end{cases}}$

Komplexwertige Funktion

Eine komplexwertige Funktion hat eine Zielmenge $Z$ aus dem Bereich der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$, wobei die Definitionsmenge $D$ nicht allgemein festgelegt ist und etwa auch auf den Bereich der natürlichen Zahlen eingeschränkt sein kann.

Demgegenüber wird der Begriff komplexe Funktion nicht in eindeutiger Weise verwendet. Teilweise ist damit gemeint, dass auch die Definitionsmenge dem Bereich der komplexen Zahlen angehört.

Siehe auch

• Funktion (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia