Reihe (Mathematik)

Eine unendliche Reihe ist mathematisch definiert als Folge der Partialsummen $\left(s_{n}\right)$ einer anderen Folge $\left(a_{i}\right)$:

Für eine beliebige Folge $\left(a_{i}\right)$ ist die $n$-te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten $n$ Glieder:

$s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

Konvergenz

Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, konvergiert, so ist ihr Grenzwert die Summe oder der Wert der Reihe:

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge $\sum _{n=1}^{\infty }|s_{n}|$ konvergiert.

Konvergente Reihen können gliedweise addiert, subtrahiert oder mit einem konstanten Faktor multipliziert werden. Absolut konvergierende Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.

Beispiele

Arithmetische Reihe

Eine arithmetische Reihe ist die Reihe einer arithmetischen Folge. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes:

$s_{n}=\sum _{i=0}^{n}(a_{0}+i\cdot d)=n\cdot {\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}$

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Für eine konvergente geometrische Reihe mit $|q|<1$ und folglich $\lim _{n\to \infty }q^{n+1}=0$ ergibt sich dann:

$s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{0}q^{i}=a_{0}+a_{0}q+a_{0}q^{2}+\dotsb +a_{0}q^{n}=a_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Wobei sich die angegebene Formel für die n-te Partialsumme wie folgt herleiten lässt:

$s_{n}=a_{0}+a_{0}q+a_{0}q^{2}+\dotsb +a_{0}q^{n}=a_{0}(1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n})|\cdot q$

$qs_{n}=a_{0}(q+q^{2}+q^{3}+\dotsb +q^{n+1})$

Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten und nachfolgender Division durch $(1-q)$ ergibt sich:

$s_{n}-qs_{n}=a_{0}(1-q^{n+1})$

$s_{n}(1-q)=a_{0}(1-q^{n+1})\ |:(1-q)$

$s_{n}=a_{0}{\frac {q^{n+1}-1}{q-1}}=a_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Für den Grenzwert, d.h. für die Summe $S$ der unendlichen Reihe folgt daraus:

$S=\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}a_{0}q^{i}={\frac {a_{0}}{1-q}}$

Beispiel

So hat z.B. die Reihe $s_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{2^{n}}}=(1,1+{\frac {1}{2}},1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}},1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}},\dots )=(1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}},{\frac {15}{8}},\dots )$ mit $a_{0}=1$ und $q={\frac {1}{2}}$ den Grenzwert $S=\lim _{n\to \infty }s_{n}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$

Potenzreihe

Eine Potenzreihe einer beliebigen Folge $(a_{n})$ mit dem Entwicklungspunkt $x_{0}$ hat die allgemeine Form

$P(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$

Potenzreihen werden häufig dazu verwendet, um Funktionen, die nicht durch elementare mathematische Operationen berechnet werden können (z.B. die Sinusfunktion), durch Reihenentwicklung als unendliche Summe von Potenzen darzustellen, z.B. in Form einer Taylorreihe.

Ihr Konvergenzradius $r>|x-x_{0}|$ kann mit der Definition ${\frac {1}{0}}:=+\infty$ und ${\frac {1}{\infty }}:=0$ nach der klassischen Formel von Cauchy-Hadamard berechnet werden:

$r={\frac {1}{\limsup \limits _{n\rightarrow \infty }({\sqrt[{n}]{|a_{n}|}})}}$

Oft ist auch eine einfachere Berechnung möglich, sofern der folgende Limes existiert:

$r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|$

Fourierreihe

Mittels einer Fourierreihe, benannt nach Joseph Fourier (1768–1830), lassen sich periodische, abschnittsweise stetige Funktionen durch eine Reihenentwicklung mit Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen. Die Koeffizienten werden durch Fourier-Analyse bestimmt.

$f(t)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos \left(kt\right)+b_{k}\sin \left(kt\right)\right)$

Siehe auch

• Reihe (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia